Геометрия 7 класс. Прямая и отрезок. (обучающий видео урок)

Прямая и отрезок

Уважаемые школьники приветствуем Вас в обучающем уроке по геометрии за 7 класс. В этом уроке Вы узнаете, что такое наука геометрия и её основы. Познакомитесь с понятием геометрических фигур и одну теорему прямая и отрезок.

Геометрия 7 класс. Прямая и отрезок.

Геометрия 7 класс. Прямая и отрезок.

В этом уроке преподаватель Тарасов Валентин Алексеевич расскажет о начальных геометрических сведениях и разберет, что такое «прямая и отрезок». Геометрия является древней наукой и ей более 300 лет до нашей эры. С греческого языка слово «геометрия» — «землемерие», (гео — земля, метрия -измеряю) и изучает геометрические фигуры и их свойства.

Геометрия разделяется на два больших раздела:

  • Планамерия — изучает фигуры на плоскости и является он средневековым термином и делиться на два слова «плани» — плоскость, «мерия» — мерить.
  • Сте­рео­мет­рия — изучает неплоские фигуры в пространстве, является греческим словом и состоит из двух слов «стерео» — тело, «метрео» — измеряю.

Мы знакомы с плоскими фигурами которые используем вокруг нас — это треугольник, окружность и так далее, а также и пространственные фигуры такие как шар, куб и другие. И все это что имеется вокруг нас называется геометрия. Геометрия изучает свойства геометрических фигур, а что это такое? Это любое мно­же­ство, любая со­во­куп­ность точек.

Точки обо­зна­ча­ют боль­ши­ми ла­тин­ски­ми бук­ва­ми. По­ня­тие о пря­мой дает тон­кая нить, про­дол­жен­ная бес­ко­неч­но в обе сто­ро­ны. Точка и пря­мая – это неопре­де­ли­мое из­на­чаль­ное по­ня­тие, это ма­те­ма­ти­че­ская иде­а­ли­за­ция – раз­ме­ров они не имеют. Если точки обо­зна­ча­ют­ся боль­ши­ми бук­ва­ми, то пря­мая может обо­зна­чать­ся ма­лень­ки­ми ла­тин­ски­ми бук­ва­ми.

Об­ри­су­ем в общих чер­тах, как стро­ит­ся гео­мет­рия. Мы упо­мя­ну­ли два по­ня­тия: точка, пря­мая . Это из­на­чаль­ные неопре­де­ли­мые по­ня­тия, их свой­ства вы­ра­жа­ют­ся в ак­си­о­мах, т.е. в ис­ти­нах, ко­то­рые не тре­бу­ют до­ка­за­тельств.

Опре­де­ле­ние дру­гих фигур, на­при­мер, окруж­но­сти, шара и т.д., до­ка­зы­ва­ют­ся тео­ре­ма­ми, таким об­ра­зом, изу­ча­ют­ся свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур. Итак, все гран­ди­оз­ное зда­ние гео­мет­рии ба­зи­ру­ет­ся, во-пер­вых, на неопре­де­лен­ных по­ня­ти­ях, во-вто­рых, на ак­си­о­мах.

Да­вай­те сфор­му­ли­ру­ем три важ­ней­шие ак­си­о­мы, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек и пря­мых и рас­смот­рим их.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Аксиома 1

В каж­дой пря­мой при­над­ле­жит по край­ней мере две точки (см. рис. 1).

Рис. 1. Две точки на одной пря­мой

Рис. 1. Две точки на одной пря­мой

По­яс­не­ние: ак­си­о­ма – ис­ти­на, не тре­бу­ю­щая до­ка­за­тельств. Разве мы не по­ни­ма­ем, что на каж­дой пря­мой есть как ми­ни­мум две точки? Так вот ма­те­ма­ти­ка фик­си­ру­ет это в ка­че­стве ак­си­ом.

Вто­рая ак­си­о­ма также по­нят­на.

Ак­си­о­ма 2

Име­ют­ся по край­ней мере три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой (см. рис. 2).

Рис. 2. Три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой

Рис. 2. Три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой

По­яс­не­ние: в со­от­вет­ствии с ак­си­о­мой 2 име­ют­ся по край­ней мере три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой. Это точки , ,  (см. рис. 2).

Аксиома 3

Через любые две точки про­хо­дит пря­мая, и при­том толь­ко одна.

По­яс­не­ние: мы мно­же­ство раз при­кла­ды­ва­ли ли­ней­ку к двум точ­кам и про­во­ди­ли от­ре­зок – часть пря­мой. Что го­во­рит ак­си­о­ма? Что через эти две точки про­хо­дит пря­мая, и при­том толь­ко одна. Вроде бы это по­нят­но. Но если одна точка на Земле, а вто­рая на Луне? Как про­ве­рить, одна пря­мая про­хо­дит или нет? Ли­ней­ку мы не про­ло­жим. Так вот, ак­си­о­ма утвер­жда­ет, что даже через эти две точки про­хо­дит толь­ко одна пря­мая! (см. рис. 3)

Рис. 3. Ак­си­о­ма 3 верна при боль­ших рас­сто­я­ни­ях

Рис. 3. Ак­си­о­ма 3 верна при боль­ших рас­сто­я­ни­ях

Дру­гой край­ний слу­чай: точки очень близ­ко рас­по­ло­же­ны друг к другу. Две пес­чин­ки. Если мы при­ло­жим ли­ней­ку, то до­воль­но труд­но про­ве­сти пря­мую. Так вот, ак­си­о­ма утвер­жда­ет: через любые две точки – и близ­кие, и да­ле­кие – про­хо­дит пря­мая, и при­том толь­ко одна (см. рис. 4).

Рис. 4. Ак­си­о­ма 3 верна при малых рас­сто­я­ни­ях

Рис. 4. Ак­си­о­ма 3 верна при малых рас­сто­я­ни­ях

Далее изу­чим знак при­над­леж­но­сти.

Знак принадлежности

Тот факт, что точка  при­над­ле­жит пря­мой , за­пи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: .

Точка  также при­над­ле­жит пря­мой : .

Точка  – не при­над­ле­жит пря­мой : .

Точка  не при­над­ле­жит пря­мой : .

Точка  не при­над­ле­жит пря­мой : .

Итак, со­глас­но ак­си­о­мам, есть точки, ле­жа­щие на пря­мой, а есть точки, не ле­жа­щие на пря­мой. То есть плос­кость бо­га­че, чем одна пря­мая. Мы много раз с этим стал­ки­ва­лись и не будем воз­ра­жать про­тив этих ак­си­ом.

Итак, мы знаем два неопре­де­ли­мых по­ня­тия – точка, пря­мая; знаем три ак­си­о­мы, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек и пря­мых.

По­зна­ко­мим­ся с еще одним неопре­де­ли­мым по­ня­ти­ем, из­на­чаль­ным по­ня­ти­ем – «ле­жать между».Есть пря­мая, есть три точки, и толь­ко одна лежит между двумя точ­ка­ми. Этот факт оче­вид­ный, но тем не менее тот факт фик­си­ру­ет­ся в сле­ду­ю­щей ак­сио­ме.

Аксиома 4

Из трех точек, ле­жа­щих на одной пря­мой, одна и толь­ко одна лежит между двумя дру­ги­ми.

Рис. 5. Ак­си­о­ма 4

Рис. 5. Ак­си­о­ма 4

По­яс­не­ние: в дан­ном слу­чае точка  лежит между точ­кой  и точ­кой . По-ино­му, точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от точки , точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от точки , и точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки  (см. рис. 5).

Ясно, что ис­ти­ну мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства и воз­ра­жать про­тив нее не будем.

Мы рас­смот­ре­ли чет­вер­тую ак­си­о­му, ко­то­рая го­во­рит о двух точ­ках, ко­то­рые лежат по одну сто­ро­ну от тре­тей точки.

Аксиома 5

Го­во­рит о дру­гих точ­ках, ко­то­рые лежат по одну сто­ро­ну от дан­ной точки. Она будет рас­смот­ре­на позже.

На дан­ный мо­мент мы имеем три неопре­де­ли­мых по­ня­тия: точка, пря­мая, «ле­жать между». Имеем пять ак­си­ом, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют вза­и­мо­от­но­ше­ния между этими по­ня­ти­я­ми. Пора нам дать опре­де­ле­ние важ­ной гео­мет­ри­че­ской фи­гу­ре – от­рез­ку.

Что же такое от­ре­зок?

От­рез­ком  на­зы­ва­ет­ся гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, со­сто­я­щая из точек , , и всех точек пря­мой, рас­по­ло­жен­ных между точ­ка­ми  и .

Более крат­кое: от­ре­зок – это часть пря­мой, огра­ни­чен­ная точ­ка­ми  и  (см. рис. 6).

Рис. 6. От­ре­зок

Рис. 6. От­ре­зок

Точки  и  на­зы­ва­ют­ся кон­ца­ми от­рез­ка. От­ре­зок обо­зна­ча­ет­ся так же, как и пря­мая. Пря­мая может обо­зна­чать­ся двумя точ­ка­ми, ле­жа­щи­ми на ней, – , и от­ре­зок может обо­зна­чать­ся таким же об­ра­зом – . Из кон­тек­ста ясно, когда речь идет о пря­мой и когда речь идет об от­рез­ке. Дан­ный от­ре­зок лежит на пря­мой, у пря­мой и от­рез­ка бес­чис­лен­ное мно­же­ство общих точек.

Могут быть дру­гие слу­чаи. Есть пря­мая , от­ре­зок  – это часть дру­гой пря­мой. От­ре­зок  и пря­мая  не имеют общих точек. Го­во­рят, что точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой  (см. рис. 7).

Рис. 7. Точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой

От­ре­зок , пря­мая . Точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой , зна­чит, от­ре­зок  имеет одну общую точку  с пря­мой. Точка  лежит между точ­ка­ми  и  (см. рис. 8). Этот факт по­ня­тен нам из ин­ту­и­тив­ных со­об­ра­же­ний, но тем не менее он ре­гла­мен­ти­ру­ет­ся ак­си­о­мой 6. Она будет по­дроб­но рас­смот­ре­на в конце урока.

Рис. 8. Точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой

От­ре­зок  лежит на пря­мой . Пря­мая  и пря­мая  имеют одну общую точку . А могут ли пря­мые иметь еще общие точки, ведь пря­мые про­сти­ра­ют­ся неогра­ни­чен­но? Может, где-то на Луне они еще пе­ре­се­кут­ся и будет еще одна общая точка?

Нам пора до­ка­зать важ­ную первую тео­ре­му, первую в этом курсе.

Теорема 1

Две раз­ные пря­мые не могут иметь более одной общей точки.

До­ка­за­тель­ство: для до­ка­за­тель­ства ис­поль­зу­ем метод от про­тив­но­го. Имеем пря­мую , пря­мую , ко­то­рые имеют одну общую точку . Пред­по­ло­жим, что су­ще­ству­ет дру­гая общая точка  (см. рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме 1

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме 1

Точки  и  – раз­ные, но по тре­тьей ак­сио­ме мы го­во­рим, что через две точки может про­хо­дить пря­мая, и при­том толь­ко одна. А у нас, по усло­вию, пря­мая  и пря­мая  – это раз­ные пря­мые, таким об­ра­зом, всту­па­ем в про­ти­во­ре­чие с ак­си­о­мой 3, зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние о на­ли­чии вто­рой общей точки невер­ное. Пря­мая  и пря­мая  не могут иметь вто­рой общей точки.

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Заключение

Итак, из крат­ко­го из­ло­же­ния тео­ре­ти­че­ской части этого урока все же по­нят­но, как в общих чер­тах стро­ит­ся все зда­ние гео­мет­рии.

1) Вво­дят­ся неопре­де­ли­мые по­ня­тия (в этом уроке – точка, пря­мая, «ле­жать между»).

2) Вво­дит­ся си­сте­ма ак­си­ом, мы ви­де­ли 5 ак­си­ом, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют свой­ства этих неопре­де­ли­мых по­ня­тий. Даль­ше да­ют­ся новые по­ня­тия, на­при­мер, от­ре­зок – часть пря­мой, рас­по­ло­жен­ная между двумя точ­ка­ми этой пря­мой. Далее фор­му­ли­ру­ет­ся и до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­ма, ко­то­рая рас­кры­ва­ет свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур. Мы такую тео­ре­му до­ка­за­ли. Две пря­мые не могут иметь более одной общей точки.

На этом тео­ре­ти­че­ская часть урока за­кон­че­на. Те­перь мы в со­сто­я­нии ре­шить неко­то­рые прак­ти­че­ские за­да­ния.

Задание 1

Про­ве­ди­те пря­мую, обо­значь­те ее бук­вой  и от­меть­те точки  и , ле­жа­щие на этой пря­мой, и точки , , , не ле­жа­щие на ней. Опи­ши­те вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек , , , ,  и пря­мой , ис­поль­зуя сим­во­лы  и .

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 1

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 1

, , , , .

Задание 2

Про­ве­ди­те три раз­лич­ные пря­мые так, чтобы каж­дые две из них пе­ре­се­ка­лись. Сколь­ко по­лу­чи­лось точек пе­ре­се­че­ния? Рас­смот­ри­те все воз­мож­ные слу­чаи.

Ре­ше­ние

a) Про­ве­дем три пря­мые, обо­зна­чим их как , , . Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых – , , . Как мы видим, есть всего три точки.

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2 (а)

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2 (а)

b) Про­ве­дем три пря­мых , ,  так, чтобы они пе­ре­сек­лись в одной точке .

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2 (b)

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 2 (b)

 

Задание 3

От­меть­те раз­лич­ные точки , , ,  так, чтобы точки , ,  ле­жа­ли на одной пря­мой, а точка  не ле­жа­ла на ней. Через каж­дые две точки про­ве­ди­те пря­мую. Сколь­ко по­лу­чи­лось пря­мых?

Ре­ше­ние

Про­ве­дем пря­мую , обо­зна­чим на ней точки , , , и точку , не ле­жа­щую на пря­мой .

Про­ве­дем пря­мые через точки:  и ,  и ,  и .

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 3

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 3

 

Всего по­лу­чи­лось че­ты­ре пря­мые.

Ответ: че­ты­ре пря­мые: , , , .

Задание 4

Есть пря­мая, на ней от­ме­че­ны точки , , ,  (см. рис. 14). На­зо­ви­те все от­рез­ки:

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 4

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­нию 4

a) на ко­то­рых лежит точка .

Ответ: , , , , .

b) на ко­то­рых не лежит точка .

Ответ: .

Ак­си­о­ма 5: ранее мы встре­ча­лись с важ­ным неопре­де­ли­мым по­ня­ти­ем «ле­жать между».

Его свой­ства в ак­сио­ме 5: каж­дая точка  пря­мой раз­де­ля­ет ее на две части (два луча) так, что любые две точки од­но­го и того же луча лежат по одну сто­ро­ну от точки , а любые две точки раз­ных лучей лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки .

По­яс­не­ние: точки  и  лежат по одну сто­ро­ну – спра­ва от точки , точки  и  лежат по дру­гую сто­ро­ну от точки  – слева от нее (см. рис. 15). Точки  и  лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки .

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция к ак­сио­ме 5

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция к ак­сио­ме 5

Ак­си­о­ма 6: две точки  и  и весь от­ре­зок  может ле­жать по одну сто­ро­ну от пря­мой , точки  и  могут ле­жать по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой . Это ре­гла­мен­ти­ру­ет­ся ак­си­о­мой 6.

Каж­дая пря­мая  раз­де­ля­ет плос­кость на две части (две по­лу­плос­ко­сти) так, что любые две точки одной и той же по­лу­плос­ко­сти лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой , а любые две точки раз­ных по­лу­плос­ко­стей лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой .

Пря­мая  на­зы­ва­ет­ся гра­ни­цей каж­дой из ука­зан­ных по­лу­плос­ко­стей, ее точки не при­над­ле­жат ни одной из этих по­лу­плос­ко­стей.

По­яс­не­ние: есть пря­мая , две по­лу­плос­ко­сти (над пря­мой и под пря­мой), точки  и , ко­то­рые лежат в одной по­лу­плос­ко­сти, точки  и , ко­то­рые лежат в раз­ных по­лу­плос­ко­стях. От­ре­зок  не имеет общих точек с пря­мой , его концы – точки  и  лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой . А от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой  в неко­то­рой точке , точка  лежит между точ­ка­ми  и . Точки  и , концы от­рез­ка , лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой . Та­ко­ва фор­му­ли­ров­ка и по­яс­не­ние ак­си­о­мы 6 (см. рис. 16).

Рис. 16. Ил­лю­стра­ция к ак­сио­ме 6

Рис. 16. Ил­лю­стра­ция к ак­сио­ме 6

Ре­ко­мен­до­ван­ные ссыл­ки на ре­сур­сы сети Ин­тер­нет

  1. Урок гео­мет­рии по теме «Пря­мая и от­ре­зок» (Ис­точ­ник).
  2. Пря­мая и от­ре­зок. Луч и угол. 7 класс (Ис­точ­ник).
  3. За­да­чи для са­мо­сто­я­тель­ной ра­бо­ты №1, «Пря­мая, от­ре­зок, луч, угол» (Ис­точ­ник).

До­маш­нее за­да­ние

  1. Даны пря­мая и че­ты­ре точки , ,  и , не ле­жа­щие на этой пря­мой. Пе­ре­се­ка­ет ли пря­мую от­ре­зок , если: 1) от­рез­ки ,  и  пе­ре­се­ка­ют пря­мую; 2) от­рез­ки  и  пе­ре­се­ка­ют пря­мую, а от­ре­зок  не пе­ре­се­ка­ет; 3) от­рез­ки  и  пе­ре­се­ка­ют пря­мую, а от­ре­зок  не пе­ре­се­ка­ет; 4) от­рез­ки  и  не пе­ре­се­ка­ют пря­мую, а от­ре­зок  пе­ре­се­ка­ет; 5) от­рез­ки , ,  не пе­ре­се­ка­ют пря­мую; 6) от­рез­ки ,  и  пе­ре­се­ка­ют пря­мую? Объ­яс­ни­те ответ.
  2. На­чер­ти­те пря­мые и ,пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке .На пря­мой от­меть­те точку , от­лич­ную от точки .
  3. Рав­ные от­рез­ки  и  лежат на одной пря­мой. Какая из точек , , или  лежит между двумя дру­ги­ми? 

Похожее