На этом уроке мы поговорим о двух основополагающих понятиях геометрии – луче и угле. Эти слова вы слышали еще в детстве: солнечный луч известен каждому, кто-то мог слышать про рентгеновские лучи. Угол есть у стола, а кого-то из вас, возможно, иногда ставили в угол комнаты. Разберемся, что означают в геометрии, а поможет нам преподаватель математики Вольфсон Георгий Игоревич.
Луч
Луч в геометрии – это аналогия со световым лучом в реальной жизни. Из одной точки может исходить множество лучей.
Луч — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.
На самом деле «геометрический» луч не намного отличается от солнечного. Чем интересен солнечный луч? У него есть начало – солнце, а конца нет: его можно ограничить своей ладошкой или землей, но если бы препятствия не было – он шел бы и дальше. То есть он имеет начало, а с другой стороны – бесконечен, как прямая. (смотрите рисунок 1.)
Соответственно, определение луча:
Лучом называется часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Эта точка играет роль солнца – там «начинается» луч! То есть луч имеет начало, но не имеет конца, в отличие от отрезка, который ограничен с двух сторон. (смотрите рисунок 2.)
Если рассмотреть горизонтальную прямую a и точку M на ней, то точка M разбивает прямую на два луча: слева и справа от M. (смотрите рисунок 3.)
Точка M называется вершиной луча. Чаще всего луч обозначают двумя точками, например MA. Для этого требуется поставить точку A с нужной стороны от M. То есть точка A показывает, в каком направлении идет луч, но не ограничивает его. (смотрите рисунок 4.)
Обратим внимание на разницу между лучом MA, отрезком MA и прямой MA. Отрезок ограничен обеими точками (смотрите рисунок 5), луч – только точкой M (смотрите рисунок 6), прямая – не ограничена (смотрите рисунок 7).
Также заметим, что отрезки АМ и МА – одно и то же, прямые АМ и МА – тоже, а вот лучи – разные. (смотрите рисунок 8).
Реже луч просто обозначают малой буквой, но тут запутаться проще, так что используйте исходные обозначения. Иногда прямые, лучи и отрезки обозначают следующим образом: (AB) – прямая, [AB) – луч, [AB] – отрезок. (смотрите рисунок 9).
Дополнительные лучи
Введем еще одно определение.
Если два луча лежат на одной прямой, имеют общую вершину, но разные направления, то такие лучи называются дополнительными.
Если мы возьму произвольную прямую отметем на ней некую точку M, а также точки А и В, то лучи MA и MB называются дополнительными. (смотрите рисунок 10).
Задача №1
Сразу решим такую задачу. На прямой отмечены точки A, B и C (именно в таком порядке). Сколько различных лучей с вершинами в данных точках мы можем назвать? (смотрите рисунок 11.)
Решение. На самом деле таких лучей будет 6. От каждой точки можно отложить луч как влево, так и вправо. От точки А влево и право, от точки В влево и вправо, от точки С влево и вправо. Обратите внимание, что луч АВ и луч АС по сути один и тот же луч. Так как вершина луча одинаковая с точки А и направление с точкой В и С тоже одинаково. То там везде получается луч от А вправо, так что это на самом деле один и тот же луч и всего их получается именно 6 и не больше.
Ответ: 6.
Угол
Теперь перейдет к другому понятию нашего урока – это угол.
Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называют сторонами угла, а их общее начало – вершина. (смотрите рисунок 12.)
Таким образом задаётся угол, М – вершина угла, а МА и МВ – сторонами угла. Обычно такой угол обозначается тремя буквами ∠АМВ в начале начинается с одной стороны угла, затем – вершина, затем – точка на другой стороне угла. Можно начать ∠ВМА и это тоже будет самый угол, причем ∠АМВ = ∠ВМА.
Зачастую углы обозначают и греческими буквами: α, β, γ, δ, ε, φ… (смотрите рисунок 13.)
Наконец, угол можно обозначать через лучи, обычно назначают маленькие буквы l и k его образовывающие, например ∠lk, но в задачах такое обозначение редкость. Чаще вы будете видеть обозначение таких буков как ∠АМВ = ∠ВМА (смотрите рисунок 14.)
Развёрнутый угол
Угол называется развёрнутым, если его стороны – дополнительные лучи
Как мы знаем из угла выходят стороны, те лучи которые выходят из его вершины. Так вот если эти стороны являются дополнительными, образую одну прямую, то такой угол называют развёрнутым. (смотрите рисунок 15.)
Обратите внимание: многие считают, что развернутый угол – 180°. Это неверно, потому что это не определение! Не путайте это пожалуйста.
Понимаем, что некоторые из вас по урокам из 5 по 6 класс, а может быть и раньше, знаете что развернутый угол его мера равна 180 градусам. Тем не менее пока этого не прошли, лучше это не использовать, потому, что получится замкнутый круг.
Градуса определяется через развернутый угол, а развернутую через градуса. Так что развернутый угол – это именно тот угол, у которого лучи – это самые стороны угла, являются дополнительными.
Угол между прямыми
Углом между прямыми, называется наименьшим из углов который образуется при их пересечении. Если пересек две прямые, то угол между ними считается красным цветом, а выделенный серым цветом углом не считается. (смотрите рисунок 16.)
Области угла
Разберем небольшой пример. Заметим, что любого угла есть понятие внутренней и внешней области (смотрите рисунок 17.)
Рассмотрим угол, назовём ∠САВ, хотя можно назвать его ∠САG или ∠ВАС и даны несколько точек. (смотрите рисунок 18.)
Заметим, что точки D и E лежат во внутренней области, H и F – во внешней, B, G, C – на сторонах (на границах угла).
Задача №2
Разберем задачу. Предположим дан угол ∠АВС и луч bk внутри него. Сколько углов на рисунке? (смотрите рисунок 19.)
Решение. Если решать быстро то можно решить что 2 угла ∠ABK и ∠KBC. Но на самом углов конечно 3 – это ∠ABK, ∠KBC, ∠АВС. Возможно кто-то из вас подумает что есть углы которые ∠СВА, ∠КВА, ∠СВК, но эти углы тоже самое и они совпадают уже с упомянутыми углами ∠ABK=∠КВА, ∠KBC=∠СВК, ∠АВС=∠СВА.
Ответ: 3 угла.
Задача №3
Предположим у нас две прямые CВ и МР пересекаются в точке А. Сколько углов с вершинами в данных пяти точках можно назвать? (смотрите рисунок 20.)
Решение. На скидку можем заметить, что есть углы ∠МАС, ∠САР, ∠РАВ, ∠ВАМ, итого 4 угла. Но кроме этого есть еще развернутые углы. ∠ВАС и ∠МАР. Итого правильный ответ 6 углов.
Ответ: 6 углов.
Видеоурок
Данный видеоурок создано в образовательных целях для портала InternetUrok.ru. Видеоролики носят учебный характер, целью которых является улучшение качества российского школьного образования. В этом уроке мы также вспомним расположение прямых и точек.
Заключение
На этом уроке были разобраны такие базовые понятия геометрии, как луч и угол. Очень рекомендуем вам выучить определение этих понятий.
Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. На уроке потом не говорить, что луч – это ну такая штука что вот точка и оттуда начинается, а конца нет. А лучшее говорить корректно.
Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. В дальнейшем эти понятия вам очень понадобиться. На этом наш урок подошёл к концу.
Если вам понравился урок геометрии, то обязательно ставьте лайк. Ставя пальцы вверх или вниз, вы даете нам обратную связь. Так мы узнаем, что вам нравится, а что нет. Не ленись нажать на кнопочку ниже.
